微分

初渝2025-01-022025-03-24

一、基本微分公式及运算法则

如果函数满足下列三个条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3），
则在开区间（a,b）内至少存在一点，使得

$例：证明方程在，内至少有个实根$

$①$ 零点定理：
若函数在闭区间[a,b]上连续，且,则在内至少存在一点，使
$②$ 罗尔定理：
解题思路：

构造函数
显然在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
$，$ ，且
所以在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，故在（0,1）内至少存在一点，使得=0，即 $方程在，内至少有个实根$
$例：已知函数在范围内连续且可导，证明至少存在一点，使得$

解题思路：

构造函数
显然在[a,b]上连续，在内可导，
,,且
所以 $在$ 上满足罗尔中值定理条件，故在内至少存在一点，使得，即 $函数在范围内连续且可导，至少存在一点，使得$

如果函数满足下列两个条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间内可导；
则在开区间内至少存在一点，使得

$对证明$

$构造函数$
显然在[b,a]上连续，在(b,a)内可导，
所以在[b,a]上满足拉格朗日中值定理条件，故在(b,a)内至少存,使得
因为,所以
$所以$